Teori Bilangan

KETERBAGIAN OLEH 2n
Suatu bilangan habis dibagi oleh 2n
 jika n digit terakhir bilangan tersebut habis
dibagi oleh 2n
.
Jadi dapat disimpulkan sebagai berikut:
a. suatu bilangan habis dibagi 2 jika digit terakhhir bilangan itu habis dibagi 2.
b. Suatu bilangan habis dibagi 4 jika 2 digit bilangan terakhir habis dibagi 4.
c. Suatu bilangan habis dibagi 8 jika 3 digit bilangan terakhir habis dibagi 8.
d. Dan seterusnya
BUKTI
Misalkan bilangan itu:
a = ……….a3a2a1a0
 = 10(…a3a2a1) +a0
Karena 10(…a3a2a1) habis dibagi 2 maka agar a habis dibagi 2 maka haruslah a0
habis dibagi 2.
CONTOH
Tentukan apakah 456777788777332 habis dibagi 0leh:
a)2 b) 4 c)8
Jawab:
a).Karena 2 ⏐ 2 maka 2 ⏐ 456777788777332
b).Karena 4 ⏐ 32 maka 4 ⏐ 456777788777332
c).Karena 8 ⏐ 332 maka 8 ⏐ 456777788777332

KETERBAGIAN OLEH 3, 9 DAN 11
Misalkan bilangan a = an an-1 … a1 a0
) Bilangan a habis dibagi 3 jika jumlah angka-angkanya ( an + an-1 + … + a1 + a0 )
habis dibagi 3
) Bilangan a habis dibagi 9 jika jumlah angka-angkanya ( an + an-1 + … + a1 + a0 )
habis dibagi 9
) Bilangan a habis dibagi 11 jika jumlah silang tanda ganti angka-angkanya
( an - an-1 + an-2 - … ) habis dibagi 11
BUKTI
Disini akan dibuktikan sifat keterbagian oleh 9.
Misalkan a = an an-1 … a1 a0
 = an × 10n
 + an-1 × 10n-1 + … + a1 × 10 + a0 × 100
 = an × ( 9+1)n
 + an-1 × (9+1)n-1 + … + a1 × (9+1) + a0
 = an [ 9n
 + n 9n-1+…+9n] + an + an-1[9n-1 + (n-1)9n-2+…+9(n-1)] +
 an-1 + … + 9a1 +a1 +a0
Suku-suku yang merupakan kelipatan 9 sudah jelas habis dibagi 9. Suku-suku
yang bukan kelipatan 9 adalah an +an-1+…+a1+a0. Sehingga agar a habis dibagi 9
maka haruslah 9 ⏐ an +an-1+…+a1+a0
CONTOH:
1. Tentukan apakah 9123333456789 habis dibagi :
 a).3 b). 9 c).11
Jawab:
9+1+2+3+3+3+3+4+5+6+7+8+9 = 63
a). Karena 3 ⏐ 63 maka 3 ⏐9123333456789
b). Karena 9 ⏐ 63 maka 9 ⏐ 9123333456789
c).9-1+2-3+3-3+3-4+5-6+7-8+9 = 13. Karena 11 ⏐ 13 maka 11 ⏐ 9123333456789